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    title: [概率论],
    subtitle: [独立性],
    author: [数学主义],
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#title-slide()

#outline-slide()

= 三门问题

== 问题背景

- 三扇门：有三扇关闭的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外两扇后面各是一只山羊。

- 选手选择：你选择了一扇门，但还没打开。

- 主持人打开：主持人知道每扇门后面是什么，他会打开剩下两扇门中的一扇，并且一定是一扇后面是山羊的门。

- 是否换门：主持人问你，是否要换到另一扇仍然关闭的门。

== 核心问题

参赛者选择"切换门"和"不切换门"时，中奖的概率分别是多少？哪种策略更优？

== 贝叶斯公式推导

定义事件：

- $C_1$：汽车在门1后；$C_2$：汽车在门2后；$C_3$：汽车在门3后

- $S$：参赛者初始选择门1

- $H$：主持人打开门2（且门2后是山羊）

---

先验概率：
$P(C_1) = P(C_2) = P(C_3) = frac(1, 3)$

条件概率：

- 当$C_1$发生：$P(H|C_1) = frac(1, 2)$

- 当$C_2$发生：$P(H|C_2) = 0$

- 当$C_3$发生：$P(H|C_3) = 1$

---

用全概率公式先计算$P(H)$：

$ P(H) &= P(H|C_1)P(C_1) + P(H|C_2)P(C_2) + P(H|C_3)P(C_3) \
  &= frac(1, 2) times frac(1, 3) + 0 times frac(1, 3) + 1 times frac(1, 3) \
  &= frac(1, 2) $

---

不切换门时的中奖概率：
$ P(C_1|H) = frac(P(H|C_1)P(C_1), P(H)) = frac(frac(1, 2) times frac(1, 3), frac(1,2)) = frac(1, 3) $

#pause

切换门时的中奖概率：
$ P(C_3|H) = frac(P(H|C_3)P(C_3), P(H)) = frac(1 times frac(1, 3), frac(1,2)) = frac(2, 3) $

#pause

*切换门的策略更优*，中奖概率为$frac(2, 3)$，而不切换门的中奖概率仅为$frac(1, 3)$。

==

#align(center, [马克思的座右铭：*怀疑一切！*])

#pause

请先从怀疑下一节的内容开始。

= 三囚问题

== 问题背景

监牢里关押着甲乙丙三人，明天大赦，他们三人当中有一人将被处死，另外两人将被释放。

狱卒已经知道谁会被处死。

甲因为不知情所以假设自己被处死的概率是1/3，然后甲问狱卒谁会被处死。狱卒说甲与丙两个人当中有一个将会被处死，问甲根据这个信息应当如何更新他对自己被处死的概率的假设。

== 问题重述

在三囚问题中，我们首先明确核心角色与初始概率假设：

- *三个囚犯*：分别记为甲、乙、丙，三人中仅有1人会被处死，另外2人将被释放（该结果已确定，狱卒知晓具体是谁，囚犯不知情）。
- *某甲的初始认知*：由于缺乏额外信息，某甲合理假设 "自己被处死" 的概率为 $frac(1, 3)$，同时 "乙被处死" 和 "丙被处死" 的概率也均为 $frac(1, 3)$（即初始状态下，三人被处死的概率均匀分布）。
- *关键信息更新*：某甲向狱卒询问情况，狱卒告知 "甲与丙两个人当中有一个将会被处死"。

---

== 贝叶斯公式的核心原理

对于任意两个事件 $A$（待求概率的 "目标事件"）和 $B$（已发生的 "观测事件 / 信息"），有：

$P(A|B) = frac(P(B|A) P(A), P(B))$

其中：

- $P(A|B)$：*后验概率*，即已知事件 $B$ 发生后，事件 $A$ 发生的概率（这是我们最终需要求解的 "更新后概率"）；

- $P(A)$：*先验概率*，即事件 $B$ 发生前，事件 $A$ 发生的初始概率（对应某甲最初假设的 $frac(1, 3)$）；

---

对于任意两个事件 $A$（待求概率的 "目标事件"）和 $B$（已发生的 "观测事件 / 信息"），有：

$P(A|B) = frac(P(B|A) P(A), P(B))$

其中：

- $P(B|A)$：*似然概率*，即事件 $A$ 发生的前提下，事件 $B$ 发生的概率（需要结合问题场景推导）；

- $P(B)$：*边缘概率*，即事件 $B$ 本身发生的总概率（可通过 "全概率公式" 计算）。


== 用贝叶斯公式推导某甲的概率更新

=== 定义关键事件

为清晰计算，先明确公式中对应的事件：

- 目标事件 $A$：*某甲被处死*；
- 观测事件 $B$：*狱卒告知 "甲与丙中有一个被处死"*。

我们需要求解的是 $P(A|B)$（已知狱卒信息后，甲被处死的概率）。

---

=== 计算先验概率 $P(A)$

根据初始设定，三人被处死的概率均匀分布，因此：

$ P(A) = frac(1, 3) $

---

同时，"甲不被处死" 的概率为：

$ P(overline(A)) = 1 - P(A) = frac(2, 3) $

（$overline(A)$ 表示事件 $A$ 的对立事件，即 "甲被释放"，此时被处死的只能是乙或丙）。

---

=== 计算似然概率 $P(B|A)$

$P(B|A)$ 表示 "若甲被处死（事件 $A$ 发生），狱卒告知'甲与丙中有一个被处死'（事件 $B$）" 的概率。

既然甲被处死，那么 "甲与丙中至少有一个被处死" 是*必然事件*，必然事件的概率为 1，即：

$ P(B|A) = 1 $

=== 计算边缘概率 $P(B)$（全概率公式）

边缘概率 $P(B)$ 是"狱卒告知(甲与丙中有一个被处死)"的总概率，需要考虑 "甲被处死" 和 "甲不被处死" 两种情况（因为这两种情况会影响狱卒的表述），即：

$P(B) = P(B|A) P(A) + P(B|overline(A)) P(overline(A))$

其中，$P(B|overline(A))$ 是 "若甲不被处死（即甲被释放），狱卒告知'甲与丙中有一个被处死'" 的概率。

---

==== 分析 $P(B|overline(A))$ 的含义

当甲不被处死（$overline(A)$ 发生）时，被处死的只能是乙或丙，分两种子情况：

- 子情况 1：被处死的是乙（概率 $frac(1, 2)$，因为甲被释放后，乙、丙被处死的概率均匀分布）；
- 子情况 2：被处死的是丙（概率 $frac(1, 2)$）。

---

此时狱卒告知 "甲与丙中有一个被处死"，需要满足 "丙被处死"（因为甲已被释放，若丙也被释放，则 "甲与丙中没有被处死的人"，狱卒无法说出该表述）。因此只能是子情况 2：被处死的是丙。

因此，

$ P(B|overline(A)) = frac(1, 2) $

---

==== 代入全概率公式计算 $P(B)$

 由 $P(B|A)=1, P(A)=frac(1, 3), P(B|overline(A))=frac(1, 2), P(overline(A))=frac(2, 3)$ 可得

$ P(B) &= P(B|A) P(A) + P(B|overline(A)) P(overline(A)) \
  &= 1 times frac(1, 3) + frac(1, 2) times frac(2, 3) \
  &= frac(1, 3) + frac(1, 3) = frac(2, 3) $

---

=== 最终计算后验概率 $P(A|B)$

将概率

$ P(B|A)=1, P(B)=2/3, P(A)=frac(1, 3) $

代入贝叶斯公式可得：

$ P(A|B) = frac(P(B|A) P(A), P(B)) = frac(1 times frac(1, 3), frac(2, 3)) = frac(1, 2) $

== 结论

某甲在得知 "甲与丙中有一个被处死" 的信息后，应将 "自己被处死" 的概率从初始的 $frac(1, 3)$ 更新为 $frac(1, 2)$。

==  

#align(center, [马克思的座右铭：*怀疑一切！*])

请先从怀疑刚刚讲的本节内容开始。

= 等价性

== 三门问题 vs 三囚问题

#table(
  columns: 3,
  table.header[*对比维度*][*三门问题*][*三囚问题*],
  [初始样本空间], [3扇门，1个中奖], [3名囚犯，1个处死],
  [参与者初始选择], [选择1扇门], [甲关注自身命运],
  [信息提供者], [主持人], [狱卒],
  [信息提供者知道], [哪扇门中奖], [哪个人被处死],
  [信息提供者的行为], [主持人打开1扇"非初始选择、但没中奖"的门], [狱卒排除1个"非初始关注对象、但不被处死"的囚犯],
  [先验概率], [选择的门后面是汽车的概率：1/3], [甲被处死的概率：1/3],
  [后验概率], [不换门：1/3；换门：2/3], [甲被处死的概率：1/3；丙被处死的概率：2/3]
)

---

== 结构等价：共享的问题框架

两个问题本质上共享完全相同的抽象结构：

- *同构的样本空间*：3扇门、3名囚犯

- *1个特殊样本点*：汽车（中奖）、处死（特殊结果）

- *排除一个非特殊样本点*：主持人排除1扇无奖门、狱卒排除1个不被处死的囚犯

- *由知情者排除*：主持人知道中奖的门、狱卒知道谁被处死

== 思考

- 在三囚问题中，假设丙在旁边听到狱卒与甲的对话，那么丙应当如何更新自己被处死的概率？

- 在三囚问题中，如果甲改变问法，问狱卒”丙是否会被处死“，而且狱卒回答说"甲与丙两个人当中有一个将会被处死"，那么甲应当如何更新自己被处死的概率？

= 独立性

== 大致含义

*两两独立*：

任意两个事件之间没有关联。

#pause 这就像一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，但三个和尚可能没水喝。

#pause *相互独立*：

比两两独立更强的条件，要求任意多个事件之间都没有关联。 

#pause 三个臭皮匠，胜过诸葛亮！

== 概念定义

两两独立（以3个事件为例）

设 $A, B, C$ 是三个事件。如果满足下列三个条件：
- $P(A inter B) = P(A)P(B)$
- $P(A inter C) = P(A)P(C)$
- $P(B inter C) = P(B)P(C)$
我们就说 $A, B, C$ 是*两两独立*的。

---

相互独立（以3个事件为例）

如果事件 $A, B, C$ 除了满足两两独立的3个条件外，还额外满足
 $ P(A inter B inter C) = P(A)P(B)P(C), $
我们就说 $A, B, C$ 是*相互独立*的。

== 两个概念的联系与区别

- 相互独立一定能推出两两独立

- 两两独立不足以保证相互独立

- 相互独立是比两两独立更强的条件

== 反例

先后抛两枚均匀硬币

定义事件：

- $A$："第一枚硬币正面朝上"，$P(A)=frac(1, 2)$

- $B$："第二枚硬币正面朝上"，$P(B)=frac(1, 2)$

- $C$："两枚硬币朝上的面相同"，$P(C)=frac(1, 2)$


---

$A, B, C$ 满足两两独立：

$ P(A inter B)=P("两枚硬币均为正面")=frac(1, 4)=P(A)P(B) $

$ P(A inter C)=P("两枚硬币均为正面")=frac(1, 4)=P(A)P(C) $

$ P(B inter C)=P("两枚硬币均为正面")=frac(1, 4)=P(B)P(C) $

---

但 $A, B, C$ 并不满足相互独立。验证如下：
$ P(A inter B inter C) = P("两枚硬币均为正面") = frac(1,4)， $
然而$ P(A)P(B)P(C) = frac(1,2) times frac(1,2) times frac(1,2) = frac(1,8)， $
显然 $P(A inter B inter C) != P(A)P(B)P(C)$，因此 $A, B, C$ 不满足相互独立。